小学二年级奥数教程第28讲:最大和最小
小学二年级奥数教程第28讲:最大和最小
在生小学二年级奥数教程第28讲:最大和最小活中经常会出现最大和最小的问题，例如开展某项活动，怎样安排使所花费的钱最少；完成某项任务，怎样安排使时间最少等．在数学中也会遇到解决最大值和最小值的问题，一般先要根据实际的条件进行分析，从中发现规律后再解决问题．
例1、 把14分成两个自然数的和，要使这两个自然数的乘积最大，这两个自然数分别是几?要使乘积最小，这两个自然数又分别是几呢?
解我们先把14分成两个自然数的和的所有情况都列举出来，再进行分析比较：14 = 1+13 = 2+12 = 3+11 =4+10 = 5+9 = 6+8 = 7+7，一共有七种不同的情况．再将每种情况的乘积算出来：1×13 = 13，2×12 = 24，3×1l = 33，4×10 = 40，5×9 = 45，6×8 = 48，7 x 7 = 49．从中可以看出，当这两个自然数都是7时，它们的乘积最大；当这两个自然数分别是1和13时，它们的乘积最小．
随堂练习1 把12分成两个自然数的和，要使这两个自然数的乘积最大，这两个自然数分别是几?要使乘积最小，这两个自然数又分别是几呢?
说明 当两个自然数的和一定时，这两个自然数之问的差越小，它们的乘积就越大；相反，如果这两个自然数之间的差越大，那么它们的乘积就越小．
例2、 两个自然数的乘积是36，要使这两个自然数的和最大，这两个自然数分别是几?要使和最小，这两个自然数又分别是几呢?
解 先把36分成两个自然数的乘积的所有情况都列举出来，再进行分析比较：36 = 1×36 = 2×18 = 3×12 = 4×9 = 6×6，一共有五种不同的情况，再将每种情况的和算出
来：1+36 = 37，2+18 = 20，3+12 = 15，4+9 = 13，6+6 = 12．从中可以看出，当这两个自然数都是6时，它们的和最小；当这两个自然数分别是1和36时，它们的和最大．
随堂练习2 两个自然数的乘积是56，要使这两个自然数的和最大，这两个自然数分别是几?要使和最小，这两个自然数又分别是几呢?
说明 当两个自然数的乘积一定时，这两个自然数之间的差越大，它们的和就越大；相反，如果这两个自然数之间的差越小，那么它们的和也就越小．
例3、 把14分成几个自然数的和，要使这些数的乘积最大，应该怎样分?最大的乘积是多少?
解 要想使乘积最大，分成的自然数的个数要尽量多一些，因为多一个数就可以多乘一次，乘积就会大．但是分成的自然数中却不能有1，因为1乘任何数仍等于原数．同时分成的自然数中2的个数不能太多，因为如果把6分成2+2+2，得到的乘积是2×2×2 = 8，而把6分成3+3，得到的乘积是3×3 = 9，所以2的个数不能多于2个．还有如果分出的数中
有5，那么应该继续把它分成2+3，因为2×3 = 6大于5，所以分出的自然数都要小于5．
那么把14应分成3+3+3+3+2，乘积是3×3×3×
3×2 = 162，这个乘积是最大的．
随堂练习3 把17分成几个自然数的和，要使这些数的乘积最大，应该怎样分?最大的乘积是多少?
例4、不计算出下面两个乘法算式的乘积，你能比较它们乘积的大小吗?
767×676 777×666
解 在这两个乘法算式中，767+676 = 1443，777+666 = 1443，两个因数的和都相等，而767—676 = 91，777—666 = 111，91<111，根据“当两个自然数的和一定时，两个自然数之间差越小，积越大”，所以767×676>777×666．
随堂练习4 不计算出乘积，请比较下面两个算式的乘积的大小．
765×654 756×663
例5、从十位数7677782980中划去五个数字，使剩下的五个数字(先后顺序不变)组成的五位数最小，最小是几?
解 要使剩下的五个数字组成的五位数最小，那么从最高位留下的数字要尽量小．经尝试后，发现下面的划法使剩下的数字组成的五位数最小．7 6 7 7 7 8 2 9 8 0，那么这个最小的五位数是62980．
随堂练习5 在多位数46474895051中划去六个数字，使剩下的数字(先后顺序不变)组成的六位数最大，这个最大的六位数是多少?
例6、 用1分、2分和5分硬币凑成1元，这三种硬币都要用，那么最少用几个硬币?
解 如果要使硬币的个数最小，那么要尽量多用5分硬币．因为三种硬币都要用，那么5分硬币用1 9个，可以组成95分，剩下的5分由2个2分硬币和1个1分硬币组成，正好等于100分，也就是l元．因此最少用硬币
19+2+1 = 22(个)．
随堂练习6 用1分、2分和5分硬币凑成1元，这三种硬币都要用．那么最多用几个硬币?
练习题
1、有甲、乙两个数，它们的和是9，甲、乙分别是几，它们的乘积最大?
2、a、b是两个自然数，如果a×b = 64，那么a+b的和最小是几?
3、把17分成两个自然数的和，使这两个自然数的乘积最大，这两个自然数分别是几?
4、把100分成两个自然数的和，使这两个自然数的乘积最小，这两个自然数分别是几?
5、把48分成两个自然数相乘，要使这两个自然数的和最大，它们应该等于几?这两个自然数的和最小，它们又应该等于几呢?
6、把19分成几个自然数的和，要使这些数的乘积最大，应该怎样分?最大的乘积是多少?
7、不计算出乘积，请比较下面两个算式的乘积的大小．
9876×8765 9875×8766
8、一个五位数与9的和是没有重复数字的最小五位数，原来五位数的是几?
9、用卡片1 9 9 5排成四位数，其中最大数和最小数的和是多少?(卡片可以颠倒使用)
10、一排有20个座位，其中有些座位已经有人了，若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，那么原来至少有多少人就座?
11、120名少先队员选举大队长，三个候选人分别是小胖、小亚和小丁丁，每个少先队员只能选他们中的一个人，不能弃权．若前100张选票中，小胖得45票，小亚得20票，小丁丁得35票．如果小胖要保证当选，那么最少还需要多少张选票?
